如何用动画证明三角形的稳定性

1.三角形任意两条边之和一定大于第三条边，这也证明了三角形任意两条边之差一定小于第三条边。

2.三角形的内角之和等于180度。

3.等腰三角形顶角的平分线、底边的中线和底边的高度重合，即三条线为一。

4.直角三角形的两个直角的平方和等于斜边的平方-勾股定理。直角三角形斜边的中心线等于斜边的一半。

5.三角形有六个中心:内中心、外中心、重心、垂直中心和欧拉线。

内心:三个角的平分线的交点也是三角形内切圆的圆心。

属性:到三边的距离相等。

偏心:三条垂线的交点也是三角形外接圆的圆心。

属性:到三个顶点的距离相等。

重心:三条中线的交点。

性质:三条中线的平分线到顶点的距离是对边中点距离的两倍。

垂直中心:三个高度的直线的交点。

属性:此点分为每条高线的两部分。

Paracenter:三角形任意两个角的外角平分线和第三个角的内角平分线的交点。

属性:到三边的距离相等。

形心:通过三角形的一个顶点，把三角形的周长分成1: 1和三角形的一条边的直线的交点。

性质:一个三角形* * *有三个边界中心，连接这三个边界中心与它们对应的三角形顶点所形成的三条直线相交于一点。

欧拉线:三角形的外圆心、重心、九点圆心、垂心依次位于同一条直线上。这条直线叫做三角形的欧拉线。

6.三角形的外角(三角形内角的一边与另一边的延长线所成的角)等于与其不相邻的内角之和。

7.三角形至少有两个锐角。

8.三角形的角平分线:三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段称为三角形的角平分线。

9.在等腰三角形中，等腰三角形顶点的平分线平分底边并垂直于底边。

10.勾股逆定理:如果三角形的三条边有以下关系，那么A？+b？=c？

那么这个三角形一定是直角三角形。

【编辑本段】三角形为什么有稳定性？

取三角形的任意两条边，则两条边的非公共端点由第三条边连接。

*第三条边不能拉伸或弯曲。

∴两端之间的距离是固定的。

这两条边之间的夹角是固定的。

这两边是可选的

∴三角形的三个角都是固定的，然后三角形也是固定的。

三角形是稳定的。

如果选择N多边形(n≥4)的两条相邻边，则两条边的非公共端点由多条边连接。

∴两端之间的距离不是固定的。

两边的夹角不是固定的。

∴n边形(n≥4)的每个角都不固定，所以n边形(n≥4)不稳定。

[编辑此段]三角形各角之间的关系

(1)个三角形之和等于180；

(2)三角形的一个外角等于与其不相邻的两个内角之和；

(3)三角形的外角大于不与之相邻的任何内角；

(4)三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；

(5)同一个三角形中，大边对着大角，大角对着大边。

(6)三角形中的四条特殊线段:角平分线、中线、高、中线。

(7)三角形平分线的交点称为三角形的心，它是三角形内切圆的中心，它到各边的距离相等。

(8)三角形外接圆的中心，即外中心，是三角形三条边的中垂线的交点，它到三个顶点的距离相等。

(9)三角形三条中线的交点称为三角形的重心，它到每个顶点的距离等于它到对边中点的距离的两倍。

(10)三角形的三个高度的交点称为三角形的垂直中心。

(11)三角形的中线平行于第三边，等于第三边的1/2。

注意:①三角形的心和重心都在三角形内部。

②钝角三角形有其垂直中心，其外中心在三角形之外。

③直角三角形在三角形的边上有一个垂直中心和一个外中心。(直角三角形的垂直中心是右顶点，外中心是斜边的中点。(4)锐角三角形的垂直中心和外中心都在三角形内部。

[编辑此段]特殊三角形

1.相似三角形

(1)两个形状相同但大小不同的三角形称为相似三角形。

(2)相似三角形的性质

相似三角形的对应边成比例，对应角相等。

相似三角形对应边的比值称为相似比。

相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。

相似三角形对应的线段(角平分线、中线和高度)相等。

(3)相似三角形的判断

1如果三边成比例，两个三角形相似。

两个三角形相似，如果两边成比例，夹角相等。

3两个三角形相似，如果对应的角相等。

2.全等三角形

(1)两个能完全重合的三角形叫做全等三角形。

(2)全等三角形的性质。

全等三角形对应的角(边)相等。

全等三角形对应的线段(角平分线、中线、高)相等，周长相等，面积相等。

(3)全等三角形的判断

① SAS ②ASA ③AAS ④SSS ⑤HL

3.等腰三角形

等腰三角形的性质；

(1)两个底角相等；

(2)顶角的平分线、底边上的中线和底边上的高度相互重合；

等腰三角形的确定；

(1)等角等边；

(2)两个底角相等；

4.等边三角形

等边三角形的性质:

(1)顶角的平分线、底边上的中线和底边上的高度重合；

(2)等边三角形的所有角都相等且等于60°。

等边三角形的确定；

(1)三个角相等的三角形是等边三角形；

(2)角等于60°的等腰三角形是等边三角形。

[编辑本段]三角形的面积公式

(1)S△=1/2*ah(a为三角形的底边，H为底边对应的高度)

(2)S△= 1/2 * AC * SINB = 1/2 * BC * Sina = 1/2 * AB * SINC(三个角分别为∠A∠B∠C，对边分别为A。

(3)S△=√S *(S-a)*(S-b)*(S-c)S = 1/2(a+b+c)

(4)S△=abc/(4R)R是外接圆的半径。

(5)S△=1/2*(a+b+c)*r r是内切圆的半径。

(6) | a b 1 |

S△=1/2 * | c d 1 |

| e f 1 |

| a b 1 |

| c d 1 |是一个三阶行列式，这个三角形ABC在平面直角坐标系A(a，B)，B(c，d)，C(e，f)，其中ABC。

| e f 1 |

最好从右上角开始按逆时针顺序取选择，因为这样得到的结果一般都是正的。如果不取这个规律，可能会得到一个负值，不过没关系，取绝对值就行，不会影响三角形面积的大小！

[编辑此段]生活中的三角形物体

雨伞、帽子、彩旗、灯罩、风帆、亭台楼阁、雪山、屋顶、切成三角形的西瓜、火炬冰淇淋、热带鱼的边缘线、蝴蝶翅膀、火箭、竹笋、宝塔、金字塔、三角裤、机器用的三角铁、一些路标、长三角、斜拉桥等。

三角形同余的条件

注意:只有三个角相等，所以无法推导出两个三角形的同余。

(1)三边相等的两个三角形相等，缩写为“SSS”。

(2)两个角及其夹边全等的两个三角形，缩写为“ASA”。

(3)两个角和一个角的对边对应两个三角形的同余，缩写为“AAS”。

(4)两边夹角相等的两个三角形全等，缩写为“SAS”。

(5)斜边和一条直角边对应两个直角三角形的同余，缩写为“HL”。

全等三角形的性质

全等三角形对应的角相等，对应的边也相等。

多边形内角和外角之和

(1)N多边形的内角之和等于(n-2)。180，N边形的外角之和等于360。

(2)正N边形的每个内角等于[(N-2)×180]‖N，每个外角等于360 ÷N n..

(3)一个N多边形从一个顶点有(n-3)条对角线，一个N多边形* * *有(n-3) ÷ 2条对角线。

[编辑本段]三角形中的线段

中线:连接顶点和对边中点的线，平分三角形。

高度:从顶点到对面垂直的脚的线。

角平分线；从顶点到两边距离相等的点的直线。

中线:连接任意两边中点的线。

[编辑本段]三角形相关定理

重心定理

三角形的三条中线相交于一点，该点到顶点的距离是从对边中点到顶点的距离的两倍。

上面的交点叫做三角形的重心。

偏心定理

三角形三条边的垂直平分线相交于一点。

这叫做三角形的外中心。

垂直中心定理

三角形的三个高度相交于一点。

这被称为三角形的中心。

内部定理

三角形三个内角的平分线相交于一点。

这叫做三角形的心。

近心定理

三角形内角的平分线与外角的平分线在另外两个顶点相交。

这叫做三角形的质心。三角形有三个质心。

三角形的重心、外中心、垂直中心、内中心和横向中心称为三角形的五个中心。

都是三角形的重要关联点。

中线定理

三角形的中线平行于第三条边，等于第三条边的一半。

三边关系定理

三角形的任意两条边之和大于第三条边，任意两条边之差小于第三条边。

三角形面积的计算公式

s(面积)=a(边长)H(高)/2-三角形的面积等于一边和这一边高乘积的一半。

[编辑此段]勾股定理

在Rt三角形ABC中，< a = 90度，则

AB AB+AC AC=BC BC

A & gt那就90度

AB a b+ AC AC & gt；公元前

[编辑此段]梅内利奥斯定理

古希腊数学家梅内莱厄斯首先证明了梅内莱厄斯定理。它指出，若一条直线与△ABC的三条边AB、BC、CA或其延长线相交于F、D、E点，则(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1。

证明:

过点a是AG‖BC在g处与DF相交的延长线，

那么af/FB = ag/BD，BD/DC = BD/DC，ce/ea = DC/ag。

三个公式相乘:AF/FB×BD/DC×CE/EA = Ag/BD×BD/DC×DC/Ag = 1。

其逆定理也成立:若AB、BC、CA边或其延长线上有三个点F、D、E，且满足(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1，则这三个点F、D、E为* * *线。利用这个逆定理，我们可以判断三分线。

另外，很多人会觉得写这个公式太复杂，不看是记不住的。这里有一些别人提供的帮助他们写作的方法。

为了说明问题，给大家一个深刻的印象，我们假设图中的A、B、C、D、E、F是六个旅游景点，通过道路相连。我们乘直升机飞过这些景点，然后选择其中任何一个降落。我们换乘大巴，去了高速公路沿线的每一个景点，最后回到起点，直升机停在那里等我们回去。

我们不用考虑怎么走最短的路线，只需要把所有的景点都“逛”完就可以了。一个只“路过”不驻足观看的景点，不是“游”。

比如，当直升机降落在A点时，我们从A点出发，“游览”其他五个字母所代表的景点，最后回到起点A..

还有一个要求是同一条直线上的三个景点必须连续游，才能换到直线上的其他景点。

从A点出发的旅行计划有四种，下面逐一说明:

方案① ——从A到F(不停)，再回到B(不停)，再到D(不停)，再从B(不停)到C(不停)，再到E(不停)，最后从E到C(不停)到起点A..

根据这个方案，你可以写出这样的关系:

(AF:FB)*(BD:DC)*(CE:EA)=1 .

现在，你知道如何写出梅内利奥斯定理的公式了。

从A点开始的旅行计划还包括:

方案②可缩写为:A→B→F→D→E→C→A，由此可写出如下公式:

(AB:BF)*(FD:DE)*(EC:CA)=1 .从a出发，也可以往“C”的方向走，所以有:

图式③-A → C → E → D → F → B → A，由此可写出公式:

(AC:CE)*(ED:DF)*(FB:BA)=1 .从a开始，还有最后一个计划:

图式④-A → E → C → D → B → F → A，由此写出公式:

(AE:EC)*(CD:DB)*(BF:FA)=1 .

我们的直升机也可以选择在B、C、D、E、F任意一点降落，所以图中还有一些其他的公式。

值得注意的是，有些公式包含四个因子，而不是梅内利奥斯定理中的三个。当直升机降落在B点时，会有四个因素。在C点和F点，既有三项公式，又有四项公式。公式四的时候，有些景点会去两次。

不知道梅内利奥斯是不是这么想的，我只是列举了一两个典型的公式给大家看看。

现在可以说对梅内利奥斯定理有了更深的理解了吗？那些复杂的乘除关系，写错了又记不住。

[编辑此段]塞瓦定理

切瓦定理

设o是△ABC中的任意一点，

AO，BO，CO分别相交于D，E，F，则BD/DC*CE/EA*AF/FB=1。

证明方法简介

(I)这个问题可以用梅内莱厄斯定理来证明:

∑△ADC被一条直线BOE截取，

∴ CB/BD*DO/OA*AE/EC=1 ①

而△ABD被直线COF切割，∴ BC/CD*DO/OA*AF/BF=1②。

② ①: BD/DC*CE/EA*AF/FB=1。

(二)也可以用面积关系来证明。

∫BD/DC = S△ABD/S△ACD = S△BOD/S△COD =(S△ABD-S△BOD)/(S△ACD-S△COD)= S△AOB/S△AOC③

同理，CE/EA = S△BOC/S△AOB4af/FB = S△AOC/S△BOC⑤。

③××× ⑤ BD/DC*CE/EA*AF/FB=1。

用塞瓦定理证明三角形的三条高线必相交于一点:

设三条边AB，BC，AC的垂直腿分别为D，E，F，

根据塞瓦定理的逆定理，因为(AD:DB)*(Be:EC)*(CF:FA)=[(CD * CTGA)/[(CD * CTGB)]*[(AE * CTGB)/(AE * CTGC)]*[(BF * CTGC)/

[(AE*ctgB)]=1，所以CD、AE、BF三个高度相交于一点。