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圆周率是数学中重要的常数之一。它是指代表圆的周长与直径之比的数学常数，用希腊字母π表示。π也等于圆的面积与半径的平方之比，近似值约为3.14159265359，是精确计算圆的周长、圆的面积、球体的体积等几何形状的关键值。它是第一个被人类认可的特殊常数。中国古代很早就有“一周三次”的记载。当时认为圆周率是常数。从1737开始，欧拉表示圆周率后成为通用符号。

圆周率公式:

周率()一般定义为圆的周长(c)与直径(d)之比，或者直接定义为单位圆的半周长。根据相似图的性质，对于任何圆，的值都是相同的，从而定义了一个常数。

公式

注:定义为单位圆周长的一半是有意义的，因为从现代数学的角度来看，直径为d，半径为r的圆的周长c由以下积分给出:

公式

也就是

公式

在上式中，定积分的代换方法可以得到:

公式

其中是单位圆周的周长(c的表达式中r=1)。如果定义，它与众所周知的周长公式是一致的。

公式

而半径为r的圆的面积s由以下积分给出:

公式

阶，可从定积分的代换方法中获得:

公式

公式

其中是单位圆的面积(S的表达式中r=1)。使用部件集成，

公式

公式

所以，

公式

因此，我们得到关系式:

公式

这样，也就得出众所周知的圆面积公式。第二种方法是以圆的半径为边长做一个正方形，然后将圆的面积与正方形的面积之比设为，即圆的面积与半径的平方之比。

圆周率计算简史

1.1?实验时间

一块古巴比伦石碑(约公元前1900年至公元前1600年)明确记载了圆周率= 25/8 = 3.125。同时期的古埃及文物Rhind数学纸莎草纸也显示圆周率等于分数16/9的平方，约为3.1605。埃及人似乎更早就知道圆周率。英国作家约翰·泰勒(1781–1864)在他的代表作《大金字塔》中写道:它为什么被建造，是谁建造的？)指出公元前2500年左右建造的胡夫金字塔与圆周率有关。例如，金字塔的周长与高度之比等于圆周率的两倍，圆周率正好等于圆的周长与半径之比。写于公元前800年至600年的古印度宗教巨著《萨塔巴塔婆罗门》，显示圆周率等于339/108的分数，约为3.139。[1]

1.2?几何方法周期

古希腊作为一个古老的几何王国，对圆周率做出了巨大的贡献。古希腊伟大的数学家阿基米德(公元前287–212)在人类历史上开创了圆周率近似值的理论计算。阿基米德从单位圆出发，首先用内接正六边形发现圆周率的下界为3，然后借助勾股定理发现圆周率的上界小于4。接着，他将内接正六边形和外切正六边形的边数分别增加一倍，分别变为内接正六边形12和外切正六边形12，然后借助勾股定理改进了圆周率的上下界。他逐渐将内接正多边形和外接正多边形的边数增加一倍，直到内接正96多边形和外接正96多边形。最后他发现圆周率的上下界分别是223/71和22/7，取它们的平均值3.141851作为圆周率的近似值。阿基米德使用了迭代算法和双边数值逼近的概念，堪称计算数学的鼻祖。

中国古籍《周并行算经》(约公元前2世纪)中有记载“道一而周三”，意为取之。汉代张衡断定(约3.162)。这个数值虽然不准确，但是简单易懂。

公元263年，中国数学家刘徽用“割线法”计算圆周率。他先从圆上接一个正六边形，然后一步步分割，直到圆接一个正六边形192。他说:“如果你小心地切，你会损失很少。再切就切不下去了，那就合围了，也没什么损失。”，包含了求极限的思想。刘辉给出了一个近似值pi =3.141024。刘徽得到圆周率= 3.14后，用金军械库中汉、王莽时代制造的铜制制式贾梁虎的直径和体积来核对这个数值，发现3.14的数值还是偏小的。然后继续把圆切割成1536多边形，求出3072多边形的面积，得到一个满意的pi。

公元480年左右，南北朝数学家祖冲之进一步得到了精确到小数点后七位的结果，给出了3.1415926的不足近似值和3.1415927的过度近似值，还得到了两个近似分数值，即密度比和收缩比。密度是分数的一个很好的近似值，只有得到它，我们才能得到稍微精确一点的近似值。[2](参见丢番图近似)

在接下来的800年里，祖冲之计算的π值是最准确的。其中《秘率》直到西方1573年才被德国人圣华伦泰·奥索获得，并于1625年发表在荷兰工程师安图奥尼的著作中，在欧洲被称为梅蒂斯& apos；第10号.

大约在公元530年，印度数学家阿雅巴塔计算出圆周率约为。Brahmagupta用另一种方法推导出圆周率等于10的算术平方根。

15世纪初，阿拉伯数学家卡西得到了圆周率的精确十进制数值17，打破了祖冲之保持了近千年的记录。德国数学家鲁道夫·范·科伊伦在1596中把π值计算到小数点后20位，然后毕生致力于此，在1610中计算到小数点后35位，以他的名字命名为鲁道夫数。

1.3?分析周期

这一时期，人们开始用无穷级数或无穷连续积来求π，摆脱割线的复杂计算。π值的各种表达式如无穷乘积、无穷连分数、无穷级数等相继出现，使得π值的计算精度迅速提高。

第一个快速算法是由英国数学家约翰·麦金提出的。在1706中，麦金计算的π值超过了100的小数标记，他使用了下面的公式:[3]。

Arctan x可以通过泰勒级数计算。一种类似的方法叫做“麦金公式”。

1789年，斯洛文尼亚数学家尤里·维加(Jurij Vega)得到了π小数点后的前140位，其中只有137位是正确的。这个世界纪录保持了五十年。他用的是梅琴在1706提出的数公式。

到1948年，英国的D. F. Ferguson和美国的Ronchi * *都发表了π的808位十进制数值，成为人工计算圆周率的最高记录。

1.4?计算机时代

电子计算机的出现使π值的计算有了突飞猛进的发展。1949，世界上第一台美国制造的计算机——ENIAC(电子

圆周率

数字积分器和计算机)在阿伯丁试验场开放。次年，里特·维斯纳、冯·纽曼和梅佐波利斯用这台计算机计算了π的2037位小数。这台计算机只花了70个小时就完成了这项工作。扣除插打卡的时间，相当于平均两分钟算出个位数。5年后，IBM NORC(海军武器研究计算机)仅用了13分钟就计算出了π的3089位小数。随着科技的不断进步，计算机的运算速度越来越快。到了六七十年代，随着美国、英国、法国的计算机科学家之间不断的计算机竞赛，π的数值越来越精确。1973年，让·吉尤(Jean Guilloud)和马丁·布耶(Martin Bouyer)用计算机CDC 7600发现了π的第百万位小数。

1976出现新的突破。萨拉明发表了一个新的公式，这是一个二次收敛的算法，也就是说，每次计算之后，都会乘以有效数。高斯之前也发现过类似的公式，但是非常复杂，在没有计算机的年代不可行。这种算法称为Brent-Salamin(或Salamin-Brent)算法，也称为Gauss-Legendre算法。

1989年，美国哥伦比亚大学的研究人员用Cray-2和IBM-3090/VF巨型电子计算机计算π值小数点后4.8亿位，然后继续计算到小数点后101亿位。10月7日——法国工程师法布里斯·贝拉计算出圆周率精确到小数点后2.7万亿位。2010年8月30日——日本计算机天才近藤茂(Mau Kondo)利用家用计算机和云计算将圆周率计算到小数点后5万亿位。

2011，10，日本长野县饭田市的职员用家用电脑将圆周率算到小数点后10万亿位，创下了2010年8月由自己创造的5万亿位吉尼斯世界纪录。56岁的近藤茂(Mau Kondo)用自己组装的电脑，从5438年6月+10月开始计算，用时约1年，创下新纪录。

现在，能计算多少位小数已经成为衡量一台计算机的运算速度、内存容量和整体能力的重要指标。