一元二次方程的公式解
一、知识要点:
一元二次方程和一元一次方程都是积分方程，是初中数学的一个重点内容，也是以后学习数学的基础。
基础，应该引起学生的重视。
一元二次方程的一般形式为:ax2+bx+c=0，(a≠0)，只包含一个未知数，未知数的最高次为2。
的整个等式。
解一元二次方程的基本思想是化简为两个一元二次方程。一元二次方程有四个解。
方法:1，直接开平法；2.匹配方法；3.公式法；4.阶乘分解法。
二、方法和实例详述:
1，直接开平法:
直接开平法是用直接平方根求解一元二次方程的方法。用直接开平法求解(x-m)2=n (n≥0)。
解为x = m的方程.
示例1。解方程(1)(3x+1)2 = 7(2)9 x2-24x+16 = 11。
解析:(1)这个方程用直接拉平法显然很好做，(2)方程左边完全平坦(3x-4)2，右边= 11 >；0，所以
这个方程也可以用直接开平法求解。
(1)解:(3x+1)2=7×
∴(3x+1)2=5
∴ 3x+1 =(注意不要丢失解决方案)
∴x=
∴原方程的解是x1=，x2=。
(2)解法:9 x2-24x+16 = 11。
∴(3x-4)2=11
∴3x-4=
∴x=
∴原方程的解是x1=，x2=。
2.匹配法:用匹配法求解方程ax2+bx+c=0 (a≠0)。
首先，将常数c移到等式的右边:AX2+BX =-C
将二次项转换为1: x2+x =-
方程两边加上一阶系数一半的平方:x2+x+( )2=- +( )2。
等式左边变成了完全平坦的方式:(x+ )2=
当b2-4ac≥0时，x+=
∴x=(这是根公式)
例2。用匹配法求解方程3x2-4x-2=0
解法:将常数项移到等式3x2-4x=2的右边。
将二次项系数化为1: x2-x =
方程两边加上一阶项系数的一半的平方:x2-x+( )2= +( )2。
公式:(x-)2=
直接平方:x-=
∴x=
原方程的解是x1=，x2=。
3.公式法:将一元二次方程转化为一般形式，然后计算判别式的值△=b2-4ac。b2-4ac≥0时，放各项。
将系数A、B、C的值代入公式x=(b2-4ac≥0)得到方程的根。
例3。用公式法求解方程2x2-8x=-5
解法:把方程变成一般形式:2x2-8x+5=0。
∴a=2，b=-8，c=5
B2-4ac =(-8)2-4×2×5 = 64-40 = 24 & gt；0
∴x= = =
原方程的解是x1=，x2=。
4.因式分解法:将方程变形为一边为零的形式，将另一边的二次三项式分解为两个线性因子的乘积，这样，
两个线性因子分别等于零，得到两个线性方程组。求解这两个线性方程组得到的根是原方程组中的两个。
根。这种解一元二次方程的方法叫做因式分解。
例4。通过因式分解求解下列方程:
(1)(x+3)(x-6)=-8(2)2 x2+3x = 0
(3) 6x2+5x-50=0(可选研究)(4)x2-2(+)x+4=0(可选研究)
(1)解法:(x+3)(x-6)=-8简化排序。
X2-3x-10=0(该方程左边是一个二次三项式，右边是零)。
(x-5)(x+2)=0(等式左侧的因式分解因子)
∴x-5=0或x+2=0(转换成两个线性方程)
∴x1=5,x2=-2是原方程的解。
(2)解:2x2+3x=0
X(2x+3)=0(通过提高公因数来因式分解等式的左侧)
∴x=0或2x+3=0(转换成两个线性方程)
∴x1=0，x2=-是原方程的解。
注意:有些同学在做这类题时容易丢失x=0的解。应该记住，一元二次方程有两种解法。
(3)解:6x2+5x-50=0
(2x-5)(3x+10)=0(通过交叉乘法进行因子分解时，应特别注意符号)
2x-5 = 0或3x+10=0。
∴x1=，x2=-是原方程的解。
(4)解法:x2-2(+ )x+4 =0 (∵4可分解为2.2，∴此题可因式分解)。
(x-2)(x-2 )=0
∴x1=2，x2=2是原方程的解。
总结:
通常，因式分解是求解一元二次方程最常用的方法。应用因式分解时，方程应先写成通式。
形式，同时二次系数要变成正数。
直接开平法是最基本的方法。
公式法和搭配法是最重要的方法。公式法适用于任何一元二次方程(有人称之为万能法)。使用公式时，
在该方法中，为了确定系数，必须将原方程变换成一般形式，并且在使用该公式之前要计算判别式的值，以便对方程进行判断。
是否有解决方法。
匹配法是推导公式的工具。掌握了公式法之后，就可以直接用公式法解一元二次方程了，一般不需要用配方法。
解一元二次方程。而搭配法在其他数学知识的学习中应用广泛，是初中要求掌握的三种重要的数学方法。
方法之一，必须掌握。三种重要的数学方法:换元法、配点法和待定系数法。
例5。用适当的方法求解下列方程。(可选研究)
(1)4(x+2)2-9(x-3)2 = 0(2)x2+(2-)x+-3 = 0
(3)x2-2x =-(4)4x 2-4mx-10x+m2+5m+6 = 0
分析:(1)首先要观察题目是否有特点，不要盲目先做乘法。观察后发现，方程左侧可用平方差。
该公式将因子分解为两个线性因子的乘积。
(2)可以用十字乘法分解方程的左因子。
(3)将其转化为一般形式后，用公式法求解。
(4)将方程化为4x2-2(2m+5)x+(m+2)(m+3)=0，然后用十字乘因式分解。
(1)解:4(x+2)2-9(x-3)2=0。
[2(x+2)+3(x-3)][2(x+2)-3(x-3)]= 0
(5x-5)(-x+13)=0
5x-5=0或-x+13=0。
∴x1=1,x2=13
(2)解:x2+(2- )x+ -3=0。
[x-(-3)](x-1)=0
X-(-3)=0或x-1=0。
∴x1=-3,x2=1
(3)解:x2-2 x=-
X2-2 x+ =0(首先转换成一般形式)
△=(-2)2-4×= 12-8 = 4 & gt；0
∴x=
∴x1=,x2=
(4)解:4x2-4mx-10x+m2+5m+6=0。
4x2-2(2m+5)x+(m+2)(m+3)=0
[2x-(m+2)][2x-(m+3)]=0
2x-(m+2)=0或2x-(m+3)=0。
∴x1=，x2=
例6。求方程3(x+1)2+5(x+1)(x-4)+2(x-4)2 = 0的两个根。(可选研究)
解析:如果这个方程先相乘，再相乘，相似的项合并成一个通用的形式，会比较复杂。仔细观察题目，我会的
科学家发现，如果把x+1和x-4分别看成一个整体，可以在方程的左边使用叉乘因式分解因子(其实就是使用换元法)
法律)
解:[3(x+1)+2(x-4)][(x+1)+(x-4)]= 0。
即(5x-5)(2x-3)=0。
∴5(x-1)(2x-3)=0
(x-1)(2x-3)=0
∴x-1=0或2x-3=0
∴ x1 = 1，x2 =是原方程的解。
例7。用配点法求解一元二次方程x2+px+q=0。
解:x2+px+q=0可以转化为
X2+px=-q(常数项移至等式右侧)
X2+px+( )2=-q+()2(方程两边加上第一项系数一半的平方)。
(x+)2=(公式)
当p2-4q≥0时，≥0 (p2-4q必须分类讨论)
∴x=- =
∴x1=，x2=
当p2-4q
注意:此题为字母系数方程，题中P和Q没有附加条件，所以在解题过程中要时刻注意字母。
价值选择的要求，必要时进行分类讨论。
练习:
(1)用适当的方法求解下列方程:
1.6 x2-x-2 = 0 ^ 2。(x+5)(x-5)=3
3.x2-x = 0 ^ 4。x2-4x+4=0
5.3x2+1=2x 6。(2x+3)2+5(2x+3)-6=0
(2)解下列关于x的方程。
1 . x2-ax+-B2 = 0 ^ 2。x2-( + )ax+ a2=0
练习参考答案:
(1) 1.x1 =-，x2 = 2.x1 = 2，x2 =-2。
3.x1=0，x2 = 4 . x 1 = x2 = 2 5 . x 1 = x2 =
6.解法:(取2x+3为一个整体，分解等式左边的因子)
[(2x+3)+6][(2x+3)-1]=0
即(2x+9)(2x+2)=0。
* 2x+9 = 0或2x+2=0
∴x1=-,x2=-1是原方程的解。
(2) 1.解:x2-ax+( +b)( -b)=0 2，解:x2-(+) ax+a a = 0。
[x-( +b)] [x-( -b)]=0 (x- a)(x-a)=0
∴x-( +b)=0或x-( -b) =0 x- a=0或x- a=0。
∴x1= +b，x2= -b是∴x1= a，x2=a是。
原方程的解。原方程的解。
试验
多项选择
1.方程x(x-5)=5(x-5)的根是()。
a、x=5 B、x=-5 C、x1=x2=5 D、x1=x2=-5
2.多项式a2+4a-10的值等于11，所以a的值是()。
a，3或7 B，-3或7 C，3或-7 D，-3或-7
3.如果一元二次方程ax2+bx+c=0中的二次系数、线性系数和常数项之和等于零，那么一定有一个方程。
根是()。
a、0 B、1 C 、-1 D、1
4.一元二次方程ax2+bx+c=0的根为零，如果()。
a，b≠0且c=0 B，b=0且c≠0。
c和b=0和c=0 D和c=0。
5.方程x2-3x=10的两个根是()。
a 、-2，5 B、2 、-5 C、2，5 D、2
6.方程x2-3x+3=0的解是()。
a，b，c，d，没有真正的根
7.方程2x2-0.15=0的解是()。
a、x= B、x=-
c、x1=0.27，x2=-0.27
8.方程式x2-x-4=0。左侧以完全平坦的方式匹配后，得到的方程是()。
a 、( x-)2= B 、( x- )2=-
c，(x- )2= D，以上答案都不正确。
9.已知一元二次方程x2-2x-m=0，用匹配法求解此方程的公式后的方程是()。
a 、( x-1)2=m2+1 B 、( x-1)2=m-1 C 、( x-1)2=1-m D 、( x-1)2=m+1
回答和分析
答案:1 . C2 . C3 . B4 . D5 . a6 . D7 . D8 . C9 . d。
分析:
1.解析:(x-5)2=0，则x1=x2=5，
注意:不要轻易用一个代数表达式除方程两边，另一个一元二次方程有实根，一定是两个。
2.解析:根据题意:a2+4a-10=11，解为a=3或a=-7。
3.解析:根据题意:如果有a+b+c=0，则方程的左边是a+b+c，只有x=1，ax2+bx+c=a+b+c，也就是说当x=1时，
方程成立时，必然有x=1的根。
4.解析:如果一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根为零，
那么ax2+bx+c一定有因子X，如果只有c=0，则有公因数X，所以c=0。
另外，还可以代入x=0得到c=0，比较简单！
5.解析:原方程变成x2-3x-10=0，
那么(x-5)(x+2)=0。
X-5=0或x+2=0。
x1=5，x2=-2。
6.分析:δ = 9-4× 3 =-3
7.分析:2x2=0.15
x2=
x=
注意根的简化，直接平方不要丢根。
8.解析:两边乘以3: x2-3x-12=0，然后根据线性系数公式，x2-3x+(-)2=12+(- )2，
排序为:(x-)2=
利用等式性质可以变换方程，当x2-bx公式化时，公式项是第一项-b的系数的一半的平方。
9.解析:x2-2x=m，则x2-2x+1=m+1。
那么(x-1)2=m+1。
中考分析
对考试问题的评论
1.(甘肃省)方程的根是()
(A) (B) (C)或(d)或
点评:由于一元二次方程有两个根，我们用排除法排除选项A和B，再用验证法选出正确的选项C和d。
选项。这个方程也可以用因式分解求解，结果也可以和选项进行比较。选项A和B只考虑一手，忘了一元。
二次方程有两个根，所以是错的，而且选项D中x =-1不能使方程左右相等，所以也是错的。正确的选项是
丙.
此外，学生常常用一个代数表达式同时除方程的两边，使方程失去了根。这种错误应该避免。
2.(吉林省)一元二次方程的根是_ _ _ _ _ _ _ _。
点评:思路可以根据方程的特点，用因式分解或公式法求解。
3.(辽宁省)方程的根是()
0(B)–1(C)0，–1(D)0，1
点评:思路:由于方程是二次方程，有两个实根，通过排除验证可以选出正确的选项，而a，
两个选项只有一个根。d选项A数不是方程的根。此外，还可以使用直接求方程根的方法。
4.(河南省)已知X的二次方程的一个根是–2，所以k = _ _ _ _ _ _ _ _。
评论:k=4。将x=-2代入原方程，构造一个关于k的二次方程，然后求解。
5.(Xi安)用直接开平法解方程(x-3)2=8，方程的根是()。
(A)x=3+2 (B)x=3-2
x1=3+2，x2=3-2
点评:可以直接解方程，也可以不用计算。如果用一元二次方程有解，那一定有两个解和8的平方。
根，你可以选择答案。
课外发展
一元二次方程
一元二次方程意味着有一个未知数，未知数的最高项是2。
度的积分方程。一般形式是
ax2+bx+c=0，(a≠0)
公元前2000年左右，古巴比伦泥板上出现了一元二次方程及其解法:找一个数使它和它。
的倒数之和等于一个给定的数，也就是求这样一个x的和，使得
x=1，x+ =b，
x2-bx+1=0，
他们制造了()2；再做一次，然后得到解:+和-。可见巴比伦人已经知道一元是两次。
方程的根公式。但当时他们不接受负数，所以省略了负根。
埃及纸莎草文献还涉及到最简单的二次方程，例如:AX2 = B。
公元前4、5世纪，中国已经掌握了一元二次方程求根的公式。
希腊的丢番图(246-330)只取一个二次方程的正根，即使两个都是正根，他也只取其中一个。
一个。
公元628年，从印度编写的雅鲁藏布江修正体系中得出了二次方程x2+px+q=0的一个根。
类型。
阿拉伯·阿尔·华拉齐米在《代数学》中讨论了方程的求解，求解了第一、第二类方程，共涉及六种。
在不同的形式中，设A，B，C为正数，如ax2=bx，ax2=c，ax2+c=bx，ax2+bx=c，ax2=bx+c等。将二次方程分成
不同形式的讨论是基于丢番图的实践。除了给出了几个二次方程的特解，Al-Hualazimi也是第一次。
给出了二次方程的通解，承认方程有两个根和无理根，但没有对虚根的理解。十六世纪的意大利人
数学家开始用复数根来理解三次方程。
大卫(1540-1603)不仅知道一元方程在复数范围内总有解，而且给出了根与系数的关系。
中国第九章算术勾股法第20题，求正根等价于x2+34x-71000=0。中国数学
经济学家也在方程式的研究中应用插值。